درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (1) کلاس دهم ریاضی

با نسبت و تناسب آشنایی دارید و ویژگی اصلی آن، یعنی برابری حاصل ضرب طرفین و وسطین را می‌شناسید؛ یعنی می‌دانید که اگر $(b,d \ne 0)\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ آنگاه $ad = bc$ و برعکس؛ از تساوی $xy = zt$ با شرط $t,y \ne 0$ تناسب $\frac{x}{t} = \frac{z}{y}$ نتیجه می‌شود. نسبت اندازه‌های دو پاره خط در هندسه هم به همین صورت تعریف می‌شود به شرطی که هر دو با یک واحد اندازه گیری بیان شده باشند؛ مثلاً اگر $AB$ پاره‌خطی به طول $2cm$ و $CD$ پاره‌خطی به طول $5cm$ باشد، $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{2}{5}$. حال فرض کنید $A'B' = 4cm$ و $C'D' = 10cm$، در این صورت:

$\frac{{A'B'}}{{C'D'}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$

و بنابراین یک تناسب به‌صورت $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A'B'}}{{C'D'}}$ درست می‌شود. بدیهی است که اگر نسبت $AB$ به $CD$، $\frac{2}{5}$ باشد، نسبت $CD$ به $AB$، $\frac{5}{2}$ است.

ویژگی‌های تناسب

به کمک اعمال و روش‌های جبری می‌توان از هر تناسب، تناسب‌ها یا تساوی‌های دیگری را نتیجه گرفت. مهم‌ترین این ویژگی‌ها به شرح زیر است (اثبات درستی این ویژگی‌ها را در مجلهٔ ریاضی انتهای فصل می‌توانید ببینید)

(1) (طرفین وسطین کردن)
$d \ne 0$ و $b$
$\frac{3}{5} = \frac{6}{{10}} \Leftrightarrow 3 \times 10 = 5 \times 6$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc$

(2) (معکوس کردن طرفین تناسب)
$d \ne 0$ و $c$ و $b$ و $a$
$\frac{2}{5} = \frac{4}{{10}} \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{{10}}{4}$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

(3) (تعویض جای طرفین یا وسطین)
$d \ne 0$ و $c$ و $b$ و $a$
$\frac{2}{3} = \frac{6}{9} \Rightarrow \frac{9}{3} = \frac{6}{2}$
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ یا $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

(4) (ترکیب نسبت در صورت یا مخرج)
$d \ne 0$ و $b$
$\frac{2}{3} = \frac{4}{6} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{4}{{10}}$
$\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}$ یا $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}$

(5) (تفضیل نسبت در صورت یا مخرج)
$d \ne 0$ و $b$
$\frac{{30}}{{21}} = \frac{{20}}{{14}} \Rightarrow \frac{9}{{21}} = \frac{6}{{14}}$
$\frac{a}{{a - b}} = \frac{c}{{c - d}}$ یا $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{{a - b}}{b} = \frac{{c - d}}{d}$

(6)
$d \ne 0$ و $b$
$\frac{4}{6} = \frac{8}{{12}} \Rightarrow \frac{{12}}{{18}} = \frac{8}{{12}} = \frac{4}{6}$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

(تعمیم ویژگی 6)
$d \ne 0$ و ... و ${b_2}$ و ${b_1}$
$\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}$
$\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{{12}} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{{12}} = \frac{{2 + 4 + 6 + 8}}{{3 + 6 + 9 + 12}} = \frac{{20}}{{30}}$